Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng 2023

Trong bài viết này chúng ta sẽ tìm hiểu Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng một cách chi tiết nhất, hãy cùng Tekmonk tìm hiểu nhé.

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

* Định nghĩa

Vectơ u→�→ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ΔΔ nếu u→≠0→�→≠0→ và giá của u→�→ song song hoặc trùng với ΔΔ.

Nhận xét

 – Nếu u→�→ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ΔΔ thì ku→(k≠0)��→(�≠0) cũng là một vectơ chỉ phương của ΔΔ. Do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

 – Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó

2.Phương trình tham số của đường thẳng

Định nghĩa

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ΔΔđi qua điểm M0(x0;y0)�0(�0;�0) và nhận u→=(u1;u2)�→=(�1;�2) làm vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm M(x ; y) bất kì trong mặt phẳng, ta có MM0−→−−=(x−x0;y−y0)��0→=(�−�0;�−�0). Khi đó M∈Δ⇔MM0−→−−�∈Δ⇔��0→ cùng phương với u→⇔MM0−→−−=tu→�→⇔��0→=��→.

⇔{x−x0=tu1y−y0=tu2⇔{x=x0+tu1y=y0+tu2(1)⇔{�−�0=��1�−�0=��2⇔{�=�0+��1�=�0+��2(1)

Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng ΔΔ, trong đó t là tham số.

Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên đường thẳng ΔΔ.

3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Định nghĩa

Vectơ (overrightarrow{n}neoverrightarrow{0}) gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng (d) nếu giá của (overrightarrow{n}) là đường thẳng vuông góc với (d).

Nhận xét

• Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến và tất cả chúng cùng phương nhau.
• Nếu (overrightarrow{n}) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng (d) thì với mọi (kne 0,) vectơ (k.overrightarrow{n}) cũng là vectơ pháp tuyến của (d).
• Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết nó đi qua một điểm (M_0) cho trước và có một vectơ pháp tuyến (overrightarrow{n}) cho trước.

Liên hệ giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của đường thẳng

• Nếu (overrightarrow{n}=(a;b)) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng (d) thì đường thẳng đó có một vectơ chỉ phương là (overrightarrow{u}=(b;-a)) hoặc (overrightarrow{u’}=(-b;a).)
• Ngược lại, nếu (overrightarrow{u}=(a;b)) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) thì đường thẳng đó có một vectơ pháp tuyến là (overrightarrow{n}=(b;-a)) hoặc (overrightarrow{n’}=(-b;a).)

Với Cách tìm vecto chỉ phương của đường thẳng cực hay Toán lớp 10 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm vecto chỉ phương của đường thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 10.

+ Cho đường thẳng d, một vecto u→ được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu u→ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng d.

+ Nếu vecto u→( a; b) là VTCP của đường thẳng d thì vecto k.u→ ( với k ≠ 0) cũng là VTCP của đường thẳng d.

+ Nếu đường thẳng d có VTPT n→( a; b) thì đường thẳng d nhận vecto n→( b; -a) và n’→( – b;a) làm VTPT.

Ví dụ 1: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d

là:

A. u1→ = (2; -3)    B. u2→ = (3; -1)    C. u3→ = (3; 1)    D. u4→ = (3; -3)

Lời giải

Một VTCP của đường thẳng d là u→( 3; -1)

Chọn B

Ví dụ 2: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(-3; 2) và B( 1; 4) ?

A. u1→ = (-1; 2)    B. u2→ = (2; 1)    C. u3→ = (- 2; 6)    D. u4→ = (1; 1)

Lời giải

+ Đường thẳng AB đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vecto AB→( 4; 2) làm vecto chỉ phương .

+ Lại có vecto AB→ và u→( 2;1) là hai vecto cùng phương nên đường thẳng AB nhận vecto u→( 2;1) là VTCP.

Chọn B.

Ví dụ 3: Vectơ chỉ phương của đường thẳng = 1 là:

A. u4→ = (-2; 3)    B. u2→ = (3; -2)    C. u3→ = (3; 2)    D. u1→ = (2; 3)

Hướng dẫn giải:

Ta đưa phương trình đường thẳng đã cho về dạng tổng quát:

= 1 ⇔ 2x + 3y – 6 = 0 nên đường thẳng có VTPT là n→ = (2; 3)

Suy ra VTCP là u→ = (3; – 2) .

Chọn B.

Ví dụ 4: Vectơ chỉ phương của đường thẳng d: 2x – 5y – 100 = 0 là :

A. u→ = (2; -5)    B. u→ = (2; 5)    C. u→ = (5; 2)    D. u→=( -5; 2)

Lời giải

Đường thẳng d có VTPT là n→( 2 ;- 5) .

⇒ đường thẳng có VTCP là u→( 5 ; 2).

Chọn C.

Ví dụ 5 : Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A(2 ; 3) và B( 4 ;1)

A. n→ = (2; -2)    B. n→ = (2; -1)    C. n→ = (1; 1)    D. n→ = (1; -2)

Lời giải

Đường thẳng AB nhận vecto AB→( 2; -2) làm VTCP nên đường thẳng d nhận vecto

n→( 1; 1) làm VTPT.

Chọn C.

Ví dụ 6. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Ox

A. u1→ = (1; 0).    B. u2→ = (0; -1)    C. u3→ = (1; 1)    D. u4→ = (1; – 1)

Lời giải

Trục Ox có phương trình là y= 0; đường thẳng này có VTPT n→( 0;1)

⇒ đường thẳng này nhận vecto u→( 1; 0) làm VTCP.

⇒ một đường thẳng song song với Ox cũng có VTCP là u1→=(1; 0).

Chọn A.

Ví dụ 7: Cho đường thẳng d đi qua A( 1; 2) và điểm B(2; m) . Tìm m để đường thẳng d nhận u→( 1; 3) làm VTCP?

A. m = – 2    B. m = -1    C. m = 5    D. m = 2

Lời giải

Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng d nhận vecto AB→( 1; m – 2) làm VTCP.

Lại có vecto u→( 1; 2) làm VTCP của đường thẳng d. Suy ra hai vecto u→ và AB→ cùng phương nên tồn tại số k sao cho: u→ = kAB→

⇒

Vậy m= 5 là giá trị cần tìm .

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho đường thẳng d đi qua A(- 2; 3) và điểm B(2; m + 1) . Tìm m để đường thẳng d nhận u→( 2; 4) làm VTCP?

A. m = – 2    B. m = -8    C. m = 5    D. m = 10

Lời giải

Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng d nhận vecto AB→( 4; m – 2) làm VTCP.

Lại có vecto u→(2; 4) làm VTCP của đường thẳng d. Suy ra hai vecto u→ và ab→ cùng phương nên tồn tại số k sao cho: u→ = kAB→

Vậy m = 10 là giá trị cần tìm .

Chọn D.

Ví dụ 9. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A( a; 0) và B( 0; b)

A. u→( -a; b)    B. u→( a; b)    C. u→( a + b; 0)    D. u→( – a; – b)

Lời giải

Đường thẳng AB đi qua điểm A và B nên đường thẳng này nhận AB→(-a;b) làm vecto chỉ phương.

Chọn A.

Ví dụ 10 . Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là u→ = (-2; -5) . Đường thẳng ∆ vuông góc với d có một vectơ chỉ phương là:

A. u1→ = (5; -2)    B. u2→ = (-5; 2)    C. u3→ = (2; 5)    D. u4→ = (2; -5)

Lời giải

Khi hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia nên :

Lại có hai vecto u∆→( -2; -5) và u→( 2;5) cùng phương nên đường thẳng ∆ nhận vecto u→( 2; 5) làm VTCP.

Chọn C.

Ví dụ 11. Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u→ = (3; -4). Đường thẳng ∆ song song với d có một vectơ pháp tuyến là:

A. n1→ = (4; 3)    B. n2→ = (- 4; 3)    C. n3→ = (3; 4)    D. n4→ = (3; – 4)

Lời giải

Khi hai đường thẳng song song với nhau thì VTCP ( VTPT) của đường thẳng này cũng là VTCP (VTPT) của đường thẳng kia nên:

→ u∆→ = ud→ = (3; -4) → n∆→ = (4; 3)

Chọn A

Câu 1: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục Oy?

A. u1→ = (1; 0).    B. u2→ = (0; 1)    C. u3→ = (1; 1)    D. u4→ = (1; -1)

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Trục Oy có phương trình tổng quát là : x= 0. Đường thẳng này nhận vecto n→(1;0) làm VTPT.

⇒ Đường thẳng x= 0 nhận vecto u→( 0; 1) làm VTCP.

⇒ Một đường thẳng song song với Oy cũng có VTCP là j→(0;1)

Câu 2: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(1;2) và B( -3;6)

A. u→( 1; 1)    B. u→( 1; -1)    C. u→( 2; -3)    D. u→(- 1; 2)

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Đường thẳng AB đi qua hai điểm A và B nên nhận vecto AB→( -4; 4) VTCP .

Lại có hai vecto AB→( -4;4) và u→( 1; -1) là hai vecto cùng phương .

⇒ đường thẳng AB nhận vecto u→( 1; -1) làm VTCP.

Câu 3: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ O( 0; 0) và điểm M( a; b)

A. u→( 0; a + b)    B. u→( a; b)    C. u→( a; – b)    D. u→( -a; b)

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Đường thẳng OM đi qua điểm M và O nên đường thẳng này nhận OM→( a;b) làm vecto chỉ phương.

Câu 4: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; -8) và B(3; -6)

A. n1→ = (2; 2).    B. n2→ = (0; 0)    C. n3→ = (8; -8)    D. n4→ = (2; 3)

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Đường thẳng AB đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vectơ AB( 2;2) làm VTCP.

Lại có: AB→( 2;2) và n→( 8; -8) vuông góc với nhau( vì tích vô hướng của hai vecto đó bằng 0)

⇒ đường thẳng AB nhận vecto n→( 8; -8) là VTPT.

Câu 5: Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u→ = (2; -1). Trong các vectơ sau, vectơ nào là một vectơ pháp tuyến của d?

A. n→( -1; 2)    B. n→(1; -2)    C. n→(-3; 6)    D. n→( 3;6)

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

Đường thẳng d có VTCP là u→( 2;-1) nên đường thẳng này có VTPT là n→( 1;2) .

Lại có vecto n’→(3;6) cùng phương với vecto n→ nên đường thẳng đã cho nhận vecto

n’→(3;6) làm VTPT.

Câu 6: Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n→ = (4; -2) . Trong các vectơ sau, vectơ nào là một vectơ chỉ phương của d?

A. u1→ = (2; -4)    B. u2→ = (-2; 4)    C. u3→ = (1; 2)    D. u4→ = (2; 1)

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Đường thẳng d có VTPT n→( 4; -2) nên có VTCP u→(2;4) .

Mà u→( 2;4) và v→( 1;2) cùng phương nên đường thẳng đã cho nhận v→( 1;2) làm VTCP.

Câu 7: Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u→ = (3; -4). Đường thẳng ∆ vuông góc với d có một vectơ pháp tuyến là:

A. n1→ = (4; 3)    B. n2→ = (-4; -3)    C. n3→ = (3; 4)    D. n4→ = (3; – 4)

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

Khi hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia nên :

→ n∆→ = ud→ = (3; -4)

Câu 8: Đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là n→ = (-2; -5) . Đường thẳng song song với d có một vectơ chỉ phương là:

A. u1→ = (5; -2)    B. u2→ = (-5; -2)    C. u3→ = (2; 5)    D. u4→ = (2; -5)

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

Khi hai đường thẳng song song với nhau thì VTCP ( VTPT) của đường thẳng này cũng là VTCP (VTPT) của đường thẳng kia nên:

→ n∆→ = ud→ = (-2; -5) → u∆→ = (5; -2)

Câu 9: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d

?

A. u1→ = (6; 0) .    B. u2→ = (-6; 0).    C. u3→ = (2; 6).    D. u4→ = (0; 1).

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

Đường thẳng d:

nên VTCP u→ = (0; 6) = 6(0; 1)

Ta chọn u→ = (0 ; 1)

Câu 10: Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của d:

A. n1→ = (2; -1) .    B. n2→ = (-1; 2) .    C. n3→ = (1; -2) .    D. n4→ = (1; 2) .

Lời giải:

Đáp án: D

Trả lời:

d:

→ ud→ = (2; -1) → nd→ = (1; 2)

Câu 11: Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d: 2x – 3y + 2018 = 0

A. u1→ = (-3; -2) .    B. u2→ = (2; 3) .    C. u3→ = (-3; 2) .    D. u4→ = (2; -3) .

Lời giải:

Đáp án: A

Trả lời:

Đường thẳng d: 2x – 3y + 2018 = 0 có VTPT nd→ = (2; -3)nên ud→ = (3; 2) là một VTCP của d.

⇒ Vecto ( – 3; -2) cũng là VTCP của đường thẳng d.

Câu 12: Đường trung trực của đoạn thẳng AB với A( -3; 2); B(-3; 3) có một vectơ pháp tuyến là:

A. n1→ = (6; 5).    B. n2→ = (0; 1) .    C. n3→ = (-3; 5) .    D. n4→ = (-1; 0) .

Lời giải:

Đáp án: B

Trả lời:

Gọi d là trung trực đoạn AB.

Suy ra đường thẳng d vuông góc với AB.

⇒ AB→( 0;1) là một VTPT của đường thẳng d.

Câu 13: Cho đường thẳng d đi qua A(-1; 2) và điểm B(m; 3) . Tìm m để đường thẳng d nhận u→( -2; 1) làm VTCP?

A. m = – 2    B. m = -1    C. m = – 3    D. m = 2

Lời giải:

Đáp án: C

Trả lời:

Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng d nhận vecto AB→( m + 1; 1) làm VTCP.

Lại có vecto u→( -2; 1) làm VTCP của đường thẳng d. Suy ra hai vecto u→ và AB→ cùng phương nên tồn tại số k sao cho: u→ = kAB→

Vậy m = – 3 là giá trị cần tìm .

Bạn đang đọc : Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng được cập nhập bởi Tekmonk

Thông tin và kiến thức về chủ đề Vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng do Học viện Công nghệ Tekmonk chọn lọc và tổng hợp cùng với các chủ đề liên quan khác.

Tham khảo thêm các khóa học công nghệ đỉnh cao tại: Học viện công nghệ Tekmonk

Nguồn: Internet

• • App Wesing là gì? Hát Karoke Kiếm tiền thật hay lừa đảo?
  • Top 11 bài về soi cầu mb me hay nhất 2022
  • Tổng kết giải đặc biệt năm 2022
  • 7 tính năng cực kì hữu ích cho người dùng điện thoại Samsung
  • Code Blox Fruit Update 17 Part 3 Trái Ác Quỷ Mới Nhất 2022
  • Top 27 bất đẳng thức cauchy-schwarz cho 3 số 2022
  • Cách khóa trang cá nhân trên Facebook Lite
  • Top 10 app làm nhạc beat, soạn nhạc trên mobile pc tốt nhất 2023
  • Top 26 bài về kqxsmb net 100 ngay hay nhất 2022
  • TOP 10 App, Phần Mềm Chỉnh Sửa Ảnh Chụp Đẹp, Miễn Phí 2023